Ruch obrotowy (dynamika bryły sztywnej) Moment bezwładności Twierdzenie Steinera

Ciało sztywne i moment bezwładności

Większość ciał w przyrodzie to nie punkty materialne, ale rozciągłe ciała sztywne. Przeanalizujmy teraz ruch takiej bryły sztywnej obracającej się ze stałą prędkością kątową $ \omega $ wokół stałej osi obrotu w układzie środka masy. Zauważmy, że chociaż wszystkie punkty mają te samą prędkość kątową $ \omega $, to punkty znajdujące się w różnych odległościach od osi obrotu mają różną prędkość liniową $ v $ ( Rys. 1 ). Prędkość $ i $-tego punktu o masie $ \Delta m_i $wynosi $ v_{i} = r_{i}\omega $, gdzie $ r_{i} $ jest odległością od osi obrotu.

$: Dwa punkty obracającej się bryły mają tę samą prędkość kątową, a różne prędkości liniowe ze względu na różne odległości od osi obrotu {OPENAGHMATHJAX()}r_{1}{OPENAGHMATHJAX} i {OPENAGHMATHJAX()}r_{2}{OPENAGHMATHJAX}$

Rysunek 1: Dwa punkty obracającej się bryły mają tę samą prędkość kątową, a różne prędkości liniowe ze względu na różne odległości od osi obrotu $ r_{1} $ i $ r_{2} $

Obliczamy teraz wartość momentu pędu $ L $ tego ciała

(1)

$ L=\underset{{i}}{\sum }{r_{{i}}{\Delta m}_{{i}}v_{{i}}=\underset{{i}}{\sum }{r_{{i}}{\Delta m}_{{i}}}}(r_{{i}}\omega )=\left(\underset{{i}}{\sum}{r_{{i}}^{{2}}{\Delta m}_{{i}}}\right)\omega $

Wielkość w nawiasie nazywamy momentem bezwładności $ I $, który definiujemy jako

Definicja 1: moment bezwładności

(2)

$ I=\underset{{i}}{\sum }{r_{{i}}^{{2}}{\Delta m}_{{i}}} $

gdzie $ r_i $ jest odległością masy punktowej $ m_i $ od osi obrotu, a dla ciągłego rozkładu masy

(3)

$ I = \int r^2 dm . $

Zwróćmy uwagę, że moment bezwładności $ I $ zależy od osi obrotu. Możemy teraz wyrazić moment pędu poprzez moment bezwładności

(4)

$ L={I\omega } $

a ponieważ zgodnie z równaniem Dynamika ruchu obrotowego-( 5 ) $ \tau = dL/dt $ więc

(5)

$ \tau =I\frac{{d\omega }}{{dt}}={I\alpha } $

gdzie $ \alpha $ jest przyspieszeniem kątowym.

Obliczmy teraz energię kinetyczną obracającego się ciała

(6)

$ E_{{k}}=\frac{1}{2}\underset{{i}}{\sum }{{\Delta m}_{{i}}v_{{i}}^{{2}}=}\frac{1}{2}\underset{{i}}{\sum }{{\Delta m}_{{i}}(r_{{i}}\omega )^{{2}}=\frac{1}{2}\left(\underset{{i}}{\sum}{{\Delta m}_{{i}}r_{{i}}^{{2}}}\right)}\;\omega ^{{2}} $

więc

(7)

$ E_{{k}}=\frac{1}{2}{I\omega }^{{2}} $

Zestawmy teraz odpowiednie wielkości obliczone dla ruchu obrotowego z ich odpowiednikami dla ruchu postępowego.

Tabela 1

Ruch postępowy	Ruch obrotowy
(8) $ \begin{matrix}{p={mv}} \\ {F={ma}}\\ {E_{{k}}=\frac{1}{2}{mv}^{{2}}} \end{matrix} $	(9) $ \begin{matrix}{L={I \omega }} \\ {\tau ={I\alpha}} \\ {E_{{k}}=\frac{1}{2}{I\omega }^{{2}}}\end{matrix} $

Z tego porównania widać, że moment bezwładności $ I $ jest analogiczną wielkością do masy m w ruchu postępowym. Zwróćmy uwagę, że w przeciwieństwie do masy moment bezwładności zależy od osi, wokół której obraca się ciało. Momenty bezwładności niektórych ciał sztywnych są podane w Tabela 2.

Tabela 2: Tabela bezwładności

Ciało	Moment bezwładności $ I $
Obręcz, pierścień o promieniu $ R $, względem osi obręczy	$ \text{MR}^{{2}} $
Krążek, walec względem osi walca	(10) $ \frac{1}{2}\text{MR}^{{2}} $
Pręt o długości $ d $, względem osi symetrii prostopadłej do pręta	(11) $ \frac{1}{\text{12}}\text{Md}^{{2}} $
Pełna kula o promieniu $ R $, względem średnicy	$ \frac{2}{5}\text{MR}^{{2}} $
Czasza kulista o promieniu $ R $, względem średnicy	$ \frac{2}{3}\text{MR}^{{2}} $

Przykład obliczania momentu bezwładności znajdziesz w module Obliczanie momentu bezwładności.

Często do obliczania momentu bezwładności wygodnie jest posłużyć się twierdzeniem Steinera. Podaje ono zależność pomiędzy momentem bezwładności $ I $ ciała względem danej osi, a momentem bezwładności $ I_{śr.m.} $ tego ciała względem osi przechodzącej przez jego środek masy i równoległej do danej.

Twierdzenie 1: Twierdzenie Steinera

ZAŁOŻENIA:

$ I_{śr.m} $ - moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy, $a$ - odległość pomiędzy osiami, $M$ - masa ciała

TEZA:

(12)

$ I=I_{{\text{śr}\text{.}m\text{.}}}+\text{Ma}^{{2}} $

Ciało	Moment bezwładności \( I \)
Obręcz, pierścień o promieniu \( R \), względem osi obręczy	\( \text{MR}^{{2}} \)
Krążek, walec względem osi walca	(10) \( \frac{1}{2}\text{MR}^{{2}} \)
Pręt o długości \( d \), względem osi symetrii prostopadłej do pręta	(11) \( \frac{1}{\text{12}}\text{Md}^{{2}} \)
Pełna kula o promieniu \( R \), względem średnicy	\( \frac{2}{5}\text{MR}^{{2}} \)
Czasza kulista o promieniu \( R \), względem średnicy	\( \frac{2}{3}\text{MR}^{{2}} \)

Ruch postępowy	Ruch obrotowy
(8) \( \begin{matrix}{p={mv}} \\ {F={ma}}\\ {E_{{k}}=\frac{1}{2}{mv}^{{2}}} \end{matrix} \)	(9) \( \begin{matrix}{L={I \omega }} \\ {\tau ={I\alpha}} \\ {E_{{k}}=\frac{1}{2}{I\omega }^{{2}}}\end{matrix} \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email: